НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для заданной функции f(x) на интервале (а,b), если в любой точке x этого интервала функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x), равную f(x), т.е. .

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то, очевидно, и функция F(x)+C , где С – любая постоянная (константа), является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных и обозначается

,

где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.

Основные свойства неопределённого интеграла

где А=const.

Таблица основных неопределённых интегралов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.

Отметим, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие:

1.интеграл Пуассона, широко используется в статистической физике, математической статистике, теории теплопроводности и диффузии.

2.Интегралы , называемые интегралами Френеля, широко применяются в оптике.

Часто встречается в приложениях интегральный логарифм

3.

а также интегральные синус и косинус:

4.

5.

Методы интегрирования

В зависимости от вида подынтегральной функции применяются различные методы интегрирования.

1. Непосредственное применение табличных формул интегрирования и свойств интеграла

В наиболее простых случаях интегрирование осуществляется либо непосредственным применением табличных формул, либо после простых алгебраических преобразований подынтегрального выражения.

Например, используя формулу , получим:

,

,

а применяя табличную формулу интегрирования , получим:

.

Используя свойства неопределенного интеграла и табличные формулы интегрирования:

,

2.Метод замены переменной

Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на применении следующей формулы: .

Например:

Частным случаем метода замены переменной является использование линейной подстановки: . В этом случае справедлива следующая формула: .

Например:

.

Метод подведения под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала основан на следующих свойствах дифференциала функции:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

3.Метод интегрирования по частям

Исходное подынтегральное выражение разбивают на два сомножителя u и dv, и далее применяют формулу .

Аналитические выражения для v и du (которые подставляются в интеграл правой части равенства) вычисляют так: du находится путем дифференцирования функции u=u(x) (), функция v(x) находится путем интегрирования dv (,С=0).

Применение данного метода дает положительные результаты в случае, если интеграл, стоящий в правой части формулы оказывается более “простым”, чем исходный (стоящий в левой). В частности, его полезно применять в следующих случаях:

1)подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x, на sinx или cosx, или произведение многочлена от x на lnx;

2) подынтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsinx, arccоsx и т.д.;

3) подынтегральная функция есть произведение показательной функции на sinx, cosx или многочлен от x.

В некоторых случаях однократного применения формулы интегрирования по частям оказывается недостаточным, тогда результат достигается путём ее многократного применения.

Как именно разбить подынтегральное выражение на u и dv, ориентирует следующая подсказка (хотя с увеличением опыта интегрирования, это становится очевидным):

4. Интегрирования рациональных дробей

Целой рациональной функцией (многочленом степени n) называется выражение вида:

,

где - действительные числа, .

Дробной рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов:

.

Правильной называется дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя (m<n), неправильной – (m³n).

Используя алгоритм деления многочленов (деление ‘столбиком’), любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде алгебраической суммы многочлена и правильной дроби.

Например, пусть дана неправильная дробь:

.

Поделим числитель на знаменатель:

Таким образом, неправильная дробь

может быть представлена в виде алгебраической суммы многочлена и правильной дроби :

.

Соответственно интеграл от рациональной дроби

может быть представлен в виде суммы двух интегралов:

Интегрирование правильных дробей

Интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

1..

2.

3.

а) Дискриминант равен нулю (D=0). В этом случае, квадратный трехчлен может быть записан как ,

где - корень квадратного уравнения

.

Таким образом:

=

.

б) Значение дискриминанта - положительно (D>0).

В этом случае: ,

где и - корни квадратного уравнения .

.

Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух слагаемых: .

Найдем значения неопределённых коэффициентов А и В:

т.е. .

Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены, получим систему уравнений

,

решая которую, найдем значения А и В. Далее, подставляя полученные значения, выполним интегрирование:

в) Значение дискриминанта - отрицательно (D<0). Выделим полный квадрат в знаменателе:

причём q->0. Обозначим q-=s² и сделаем замену переменной x+=t, тогда x = t-, dx=dt:

Отметим, что

5.Интегрирование рациональных функций

Интегрирование выражений вида , где подынтегральная функция является рациональной функцией от , производится методом замены переменной: , и .

Интегрирование выражений вида , где подынтегральная функция является рациональной функцией от и , производится методом замены переменной (универсальная тригонометрическая подстановка):,(

, ,

, .

6.Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций, в общем случае, представляет достаточно сложную задачу.

1. Интеграл вида , где R – рациональная функция, и , , … - рациональные числа приводится к интегралу от рациональной функции путем подстановки , где: k – общий знаменатель всех дробных показателей степеней x.

2. К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

- подстановкой ;

- подстановкой ;

- подстановкой ;

7.Интегрирование тригонометрических функций

При интегрировании выражений:

а) , ;

б) ;

в) , ;

г) , , ,

где m и n –целые числа, полезны следующие формулы:

; ;

.

,

,

.

Примеры решения задач.

1. Найти интеграл .

Используем свойства и табличную формулу

:

.

2. Найти интеграл .

Здесь для приведения к табличному виду

преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:

3.Найти нижеследующие интегралы, используя метод подведения под знак дифференциала:

а) ; б); в);

г) .

Решение.

а) Учитывая, что и обозначив , получим:

б) Учитывая, что и, обозначив , получим:

в)Запишем исходное выражение как: .

Заметив, что и, обозначив , окончательно получим:

г)Заметив, что: и обозначив , получим:

4. Найти интеграл .

Здесь для применения табличной формулы

необходимо преобразовать показатель степени 2x – 1. Сделаем подстановку: u = 2x – 1, тогда du = 2dx и .

.

5. Найти интеграл .

6. Найти интеграл .

7. Найти интеграл .

.

8. Найти интеграл .

.

9. Найти интеграл .

Так как , то

.

10. Найти интеграл .

Приведем интеграл к табличному виду

.

.

11.Найти интегралы:

а);б);в); г);д);е);

ж).

а)Подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x (первой степени) на sinx. Разобьем подынтегральное выражение на две части u и dv, положив u = x, dv = sinxdx, найдем du и v как: и , т.е: du = dx,

и .

Далее, применим формулу интегрирования по частям :

б)Аналогично,

в)Разобьем подынтегральное выражение на две части u и dv, положив u = lnx, dv = xdx. Найдем du и v как: ,

и .

г)аналогично,

д)Положив u =(2x +1), , найдем du и v: : ,

и .

е)Разобьем подынтегральное выражение на две части u и dv, положив , dv = sinxdx. Найдем du и v: , ,

.

Хотя окончательный результат и не получен, однако достигнуто определенное упрощение исходного интеграла, т.к. понизилась степень многочлена подынтегрального выражения. Поэтому применим данную формулу повторно.

Вновь разбив подынтегральное выражение на две части u и dv и, положив , dv = cosxdx, найдем du и v: ,

.

Повторно применим формулу интегрирования по частям:

Подставляя полученное выражение, окончательно получим:

ж)Положив , , найдем du и v: ,

,

.

Поскольку конечный результат достигнуть не удалось, вновь применим метод интегрирования по частям,

положив , . Тогда ,

,

.

Подставляя, получим:

.

Откуда:

12. Найти интеграл .

В случае, когда нужно найти интеграл от неправильной дроби (когда степень числителя больше или равна степени знаменателя),

используют прием деления «столбиком».

Разделим:	2x – 1	x+1	, следовательно
	2x + 2	2
	–3

.

Тогда:

13. Найти интеграл

Делим:

x3 + 0 + x + 0					–x + 1
x3 - x2			–x2 – x – 2
	x2 +x
	x2 –x
		2x + 0
		2x – 2
				2

Таким образом: , откуда

.

14. Найти интеграл .

Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi), то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных коэффициентов:

.

Так как , то

.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

.

Т.к. знаменатели справа и слева совпадают, приравняем числители, и, раскрывая скобки, получим: .

Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях. Получаем систему уравнений:

. Отсюда ; и

.

Таким образом,

.

15. Найти интеграл .

Аналогично предыдущему примеру, имеем:

;

;

.

Соответствующая система уравнений и ее решение:

.

Таким образом,

.

16. Найти интеграл .

Здесь дискриминант знаменателя , поэтому разложить знаменатель на множители не удается. Например, можно использовать формулу:

В нашем случае . После подстановки и вычислений получим:

17.Найти интеграл .

Вводя обозначение , и учитывая, что и , получим:

18. Найти интеграл:

Положим , тогда , подставляя, получим:

19.Найти интегралы:

а) ; б); в);

г);

Решение.

б)отделяем от нечетной степени один множитель:

, и делаем замену переменной: , .

Подставляя, получим:

в)Полагаем: . Тогда: и .

Подставляя, получим:

г)Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые и затем интегрируем:

.