ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектором называется отрезок с указанным на нем направлением.

Обозначение: . Расстояние называется длиной или модулем вектора и обозначается

; .

Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарными называются векторы, расположенные в одной или в параллельных плоскостях.

Базисом на плоскости (в пространстве) называется пара (тройка) ненулевых неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Используется декартов (ортонормированный) базис –взаимоперпендикулярные векторы единичной длины с общим началом (и одинаковым масштабом по всем осям).

Обозначается обычно: на плоскости, в пространстве.

Отметим, что , ,,.

Ортом оси называется вектор единичной длины =1, сонаправленный с осью.

Под (координатной) осью будем понимать прямую OX с выбранной на ней точкой начала отсчёта O, направлением и масштабом (единицей измерения длины).

Совокупность двух (трёх) взаимоперпендикулярных осей с общим началом отсчёта и одинаковым масштабом по всем осям называется декартовой (ортонормированной) системой координат на плоскости (в пространстве).

Оси называются: Ox - ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Пусть вектор (x,y,z)= задан своими декартовыми координатами, тогда его длина равна: =

Длина отрезка AB, где A(), B() равна: =

Рассмотрим два вектора () и () в декартовой системе координат. Условие коллинеарности и запишется так: .

Скалярное произведениедвух векторов и – это число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними:

∙= ∙cos=

Условие перпендикулярности (ортогональности) и : = 0.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор = , обладающий следующими свойствами:

а) = ∙sin, где -угол между и ;

б) если и неколлинеарны, то и ;

в) ,, образуют правую тройку.( Кратчайший поворот от к виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки.)

Вектор имеет координаты: = = =.

Если и неколлинеарны, то = численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,, называется число, равное скалярному произведению векторного произведения и вектора : = ∙ = .

Три ненулевых вектора , , компланарны =0. Абсолютная величина смешанного произведения трёх ненулевых некомпланарных векторов ,, равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах. Объём соответствующей пирамиды равен объёма параллелепипеда.

Примеры решения задач.

1.Даны точки А(1;2;3) и В(-1;0;4). Найти модуль вектора и координаты точки Е – середины отрезка .

Решение: =( -1-1,0-2,4-3 ),

= = 3,

координаты середины отрезка : Е Е(0;1;3,5).

2. Найти орт вектора (-1;3;4).

Решение: , , , , , следовательно,.

3. Найти проекцию вектора (3,4,5) на направление вектора (0;2;3).

Решение:.

4.Найти площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А(1,-1,0), В(1,0,1), С(0,-1,2)

Решение: ,

.

5. Найти площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А(1,4), В(-2,1), С(1,1).

Решение: ,

=(-3;-3)=(-3;-3;0), =(0;-3)=(0;-3;0).

= +=(0;0;9),

.

6.Вычислить косинус угла между векторами (2,0,-1) и (-3,1,0).

Решение: .